随机过程的基本概念
图1.14
随机变量是指每个事件的结果在相同条件下具有随机性和不确定性，而随机过程是指事物的某一过程在相同条件下具有随机性和不可预测性。一个过程可能由无限个随机变量组成，而一个随机过程由一系列过程(随机出现)组成。如果连续观测一个钻孔的水位，水位用H0(t)表示，第一个水文年观测到的水位曲线为H1(t)，…，第n个水文年观测到的水位为Hn(t)，各水文年得到的样本曲线是随机的(图1.14)。{H(t)，t∈(0，∞)}，如何理解为一族随机变量？我们固定某一观测时间t0，每年调查该时间t0时H(t)的水位值，如H1(t0)，H2(t0)，…，Hn(t0)。显然，H(t0)是一个随机变量，但当t变化时，H(t)是一族随机变量。因此，H(t)是一个随机过程。
同理，一个地区的大气降水过程，一条河流的流量或水位的变化，都可以看作是随机过程。这样，设{X(t)，t∈T}是随机过程，第一个过程的观测可以看作随机过程X1(t)的样本函数，第I个过程的观测可以看作随机过程Xi(t)的第I个样本函数。样本函数X1(t)，X2(t)，…，Xn(t)可以从n次实验观测的结果中得到。对于随机过程X(t)，当T固定时，是一个随机变量，即随机过程在T时刻的状态，随机变量X(t)和t∈T(t固定)的所有可能值组成一个实数集，称为随机过程的状态空间或值域，每个可能值称为一个状态。
随机过程可以根据参数集T和状态空间的条件进行分类。通常，随机过程可以分为以下四类:
(1)离散参数和离散状态随机过程。
(2)具有离散参数和连续状态的随机过程。
(3)具有连续参数和离散状态的随机过程。
(4)连续参数和连续状态随机过程。
1.3.1有限维分布族
随机过程{X(t)，t∈T}在每个时刻T的状态是一维随机变量，任意两个时刻的状态是二维随机变量。随机过程的统计特征可以用不同维数的随机变量(向量)在不同固定时刻的整体分布来表示。
对于任何固定的t∈T，
地下水系统的随机模拟与管理
称为随机过程X(t)在时间t的一维分布函数。
对于任意两个固定的t1，t2∈T
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称为随机过程X(t)的二维分布函数。
一般对于任意固定的t1，t2，…，tn∈T，
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称为随机过程X(t)的n维分布函数。
随机过程X(t)的一维分布函数、二维分布函数、…、n维分布函数都称为随机过程的有限维分布函数族。
1.3.2随机过程的数字特征
随机过程的数值特征由随机过程的有限维分布函数的数值特征来描述。因为随机过程{X(t)，t∈T}的状态在每个t∈T都是随机变量，所以有其相应的数值特征。随着t值的不同，随机变量的数值特征可以不同，其数学期望和方差取决于参数t的函数，我们称之为随机过程的数值特征。设随机过程X(t)t∈T的数学期望用mX(t)表示，则:
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其中:F(x，t)-随机过程的一维分布函数。
如果F(x，t)是连续函数，则:
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其中:f(x，t)-一维分布密度函数。
如图1.15，当样本曲线的数量增加到一定数量时，mX(t)基本上是一条固定的曲线，样本曲线围绕它上下波动。
设随机过程X(t)t∈T的方差用DX(t)表示，则有:
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σX(t)=随机过程的标准差。
随机过程的方差也是过程T的函数，反映了每个样本曲线对均值曲线mX(t)的偏离程度。
在分析实际工程问题时，随机过程的均方值具有物理意义，随机过程的均方值用ψ x (t)表示，有:
图1.15
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因此，有:
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随机过程的均值函数和方差函数只考虑随机过程在任一时刻状态的数字特征，但在分析随机过程不同时刻状态之间的相关关系时，必须包含随机过程的协方差函数和相关函数的概念。
随机过程X(t)是任意两个时刻的两个随机变量t1，t2∈T，X(t1)和X(t2)，它们之间线性关系的密切程度可以作为相关函数:
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描述一下。
X(t1)和X(t2)的协方差称为随机过程X(t)的(自)协方差函数，记为CX(t1，t2)，即:
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如果两个随机过程的方差相同，可以用协方差函数的绝对值来比较两个过程在t1和t2时刻的线性关系。如图1.16(a)和(b)所示，两个随机过程的数学期望和方差相同，但过程(a)在不同时刻的线性联系程度小于过程(b)。
协方差函数也可以表示为:
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相关函数可以表示为:
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随机过程X(t)的协方差函数和相关函数的关系如下:
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图1.16
对于随机过程，当mX(t)=0时，
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当t1=t2时，
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不难看出，数学期望和相关函数是随机过程的两个最基本的数值特征，从中可以得到协方差函数和方差。
在众多类型的随机过程中，正态(随机)过程(高斯过程)在工程中是非常常见的，也是非常重要和有用的。
如果随机过程{X(t)，t∈T}的有限维概率分布是一维或多维正态分布，即对于n≥1，任意t1，t2，…，tn∈T，有:
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其中:x=(x1，x2，…，xn) t。
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X(t)被称为正态(随机)过程或高斯过程。
1.3.3两随机过程的联合分布
在工程技术中，经常需要同时考虑两个或多个随机过程的统计特性。例如，对于一个地下水系统，大气降水的补给P(t)是一个随机过程，相应的地下水系统响应(如泉水流量或水位动态)也是一个随机过程。我们经常研究地下水系统的输入随机过程和响应(输出)随机过程之间的关系，从而涉及到两个随机过程的研究。
设X(t)和Y(t)(t∈T)是两个随机过程，那么{(X(t)，Y(t)}T，t∈T}是二维随机过程。
对于任意m≥1，有t1，t2，…，tm∈T，T 1′，T2′，…，TN′∈T，它们是m+n维(X(t1)，X。
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称为二维随机过程(X(t)，y (t)) t的m+n维(联合)分布函数。
对于随机过程X(t)，Y(t)，t∈T，固定t1，t2∈T，则:
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是随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数。