协变张量和逆张量的物理意义是什么？

在研究物理问题时，我们习惯于用一组数字在一个坐标系中描述向量。但是引入一个额外的坐标系是任意的，不同的坐标系选择会导致不同的困难，或者我们有时需要在不同的坐标系中分析同一个系统来研究系统的对称性，所以需要经常变换所选择的坐标系。在改变坐标系时，很明显这组描述向量的数会发生变化，而有些量保持不变(比如向量的内积，只与向量的长度和角度有关)。既然物理现象应该和描述它们的坐标系无关，那么那些在改变坐标系时不变的东西就更值得关注，比如矢量的长度和角度，换句话说就是内积。如果只研究直角坐标系下的坐标系旋转，可以用一个正交矩阵来描述矢量各分量的变化关系。从正交矩阵的性质可以很容易地得出，矢量的内积在坐标系旋转前后是不变的。但是如果要研究坐标系和非直角坐标系的展开，那么描述矢量变换的矩阵就变成了非正交矩阵。如果强行用正交矩阵内积的定义来计算，会得到一个与参考系有关的数。如前所述，物理学家并不关心这个坐标系所依赖的物体。这时，我们需要用两组数来描述一个向量，其中一组以正常方式变化，另一组以变换矩阵的逆矩阵(而不是直角坐标系中的转置矩阵)的形式变化。当两个向量做内积时，仍然可以得到一个与坐标无关的数。我们称这两个向量为协变向量和求逆向量，还会有另一组坐标框架，以原坐标框架的逆矩阵的形式变化。这两组坐标系也称为协变坐标系和反演坐标系。同时，每组坐标框架都会有一个矩阵，可以将协变向量和逆向量相互转化，这就是所谓的度量。矩阵的逆是相互的，所以协变和求逆也是相互的。哪一个叫协变，哪一个叫反转，很大程度上来源于历史和惯例。协方差和反演只不过是向量或张量的两个分量。它们可以通过度规张量联系起来。