正弦曲线历史
余切csc
(或cosec)切向胶辊
(或ctg，ctn)【编辑】较少使用的函数除了六个基本函数，历史上还有以下四个函数:法向量外的割线和余切【编辑】历史随着认识到相似的三角形在它们的边之间保持相同的比例，就有了这样一种想法，即三角形的边长和三角形的角之间应该有某种标准的对应关系。也就是说，对于任何相似的三角形，例如，斜边与其余两条边的比值都是相同的。如果斜边变成两倍长，其他边也会变成两倍长。这些比率用三角函数表示。尼日利亚的希帕查斯(公元前180-125年)、埃及的托勒密(公元90-180年)、阿耶波多(公元476-550年)、伐罗诃密希罗、布拉马古塔、华拉齐米等等都研究过三角函数。纳西尔·阿尔丁·阿尔图西、吉亚思·阿尔卡希(14+04世纪)、乌尔·乌格贝格(14世纪)、约翰·缪勒(1464)、雷提库斯及其学生瓦伦丁·奥托。Sanggamagramma的mad hava(c . 1400)对无穷级数形式的三角函数的分析作了早期的研究。欧拉在《无限分析》(1748)中的介绍对欧洲三角函数的建立做出了最重要的贡献。它还将三角函数定义为无穷级数，并表达了欧拉公式，以及sin等近乎现代的缩写。，因为。，唐。，cot。，秒。还有cosec。【编辑】直角三角形的定义【编辑】直角三角形中只有锐角三角函数的定义。锐角的正弦是它的对边与斜边之比。图中sinA =对边/斜边= a/h .锐角的余弦是其邻边与其斜边之比。图中cosA=邻边/斜边= b/h .锐角的正切是其对边与邻边之比。图中tanA =对边/邻边= a/b【编辑】在直角坐标系中，设α为平面直角坐标系xOy中的一个象限角，角的最后边上的一点，P到原点O的距离，则α的六个三角函数定义为:函数名定义函数名定义正弦余弦正切余切割线余切【编辑】单位圆定义单位圆也可以根据以半径为圆心的单位圆定义六个三角函数。单位圆的定义在实际计算中没有太大的价值；其实对于大部分角度来说，取决于直角三角形。但是单位圆的定义确实允许三角函数定义所有正负弧度，而不仅仅是0到π/2弧度之间的角度。它提供了一个单一的视觉图像，一次封装了所有重要的三角函数。根据毕达哥拉斯定理，单位圆的方程是:在图像中，给定一个用弧度度量的公角。逆时针测量值为正角度，顺时针测量值为负角度。设一条过原点的直线与X轴的正半部成θ角，与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cos θ和sin θ。这个图形中的三角形保证了这个公式；半径等于斜边，长度为1，所以有sin θ = y/1，cos θ = x/1。单位圆可以认为是通过改变相邻边和对边的长度，保持斜边等于1，来查看无限多个三角形的一种方式。笛卡尔平面上f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)函数的像。对于大于2π还是小于？6?12π角，简单继续绕单位圆旋转。这样正弦和余弦就变成了周期为2π的周期函数:对于任意角度θ和任意整数k，周期函数的最小正周期称为这个函数的“本原周期”。正弦、余弦、正割或余切的基本周期为一整圆，即2π弧度或360度；切线或余切的基本周期是半圆，是π弧度或180度。只有正弦和余弦由单位圆直接定义，其他四个三角函数可以定义为:函数f(x) = tan(x)在笛卡儿平面上的像。在正切函数的图像中，在角度kπ附近变化缓慢，而在接近角(k+1/2)π处变化迅速。正切函数的图像在θ = (k+1/2)π处有一条垂直渐近线。这是因为当θ从左边连接到(k+1/2)π时，函数接近正无穷大，当θ从右边接近(k+1/2)π时，函数接近负无穷大。作为替代，所有的基本三角函数都可以按照圆心为o的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别是对于这个圆的弦AB，其中θ是对角的一半，sin(θ)是AC(半弦)，这是阿耶波多(公元476-550年)在印度的定义。Cos(θ)是水平距离OC，versin(θ) = 1？6?1 cos(θ)是CD。Tan(θ)是线段AE通过A的切线的长度，所以这个函数叫正切。Cot(θ)是另一条切线AF。Sec(θ) = OE和csc(θ) = OF是正割(与圆在两点相交)线段，所以可以看作OA分别沿A的切线向水平轴和垂直轴的投影。DE exsec(θ) = sec(θ)吗？6?1 1(被切割出圆的部分)。通过这些构造，很容易看出，当θ接近π/2 (90度)时，割线函数和切线函数发散，而当θ接近零时，余切函数和余切函数发散。[编辑]级数(蓝色)定义的正弦函数，是以圆心为原点的整圆的5次泰勒级数(粉色)的近似。仅利用几何和极限的性质，就可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负正弦。在微积分中，所有的角度都用弧度来度量。然后可以用泰勒级数理论证明以下恒等式对所有实数X都成立:这些恒等式常用作正弦和余弦函数的定义。它们常被用作三角函数的严肃处理和应用的起点(例如在傅立叶级数中)，因为无穷级数的理论是从实数系发展而来的，与任何几何考虑无关。这些函数的可微性和连续性往往是与级数本身的定义分开建立的。其他数列见:【1】}-这里是N次上/下数，是N次伯努利数，(下图)是N次欧拉数。在这种表达形式中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正切数”，有一个组合解释:它们枚举了有限个奇位势集合的交替排列。}-在这种表达形式中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“割线数”，有一种组合解释:它们枚举了有限个偶势集的交互排列。从复分析的一个定理，这个实函数对复数有一个独特的解析扩展。它们有相同的泰勒级数，所以定义在复数上的三角函数用上面的泰勒级数。【编者】与指数函数和复数的联系从上面的级数定义可以证明，当复指数函数的自变量为纯虚数时，正弦函数和余弦函数都是复指数函数的虚部和实部。这种联系首先被欧拉注意到，这个恒等式被称为欧拉公式。这样，三角函数在复分析的几何解释中变得必不可少。比如通过上面的恒等式，如果考虑eix定义的复平面上的单位圆，如上，我们可以把这个圆按照余弦和正弦参数化，复指数和三角函数的联系就变得非常明显了。此外，这允许定义复自变量z的三角函数:i2 =？6?11。而对于纯实数x，也知道指数处理与周期行为密切相关。【编者】微分方程的定义正弦和余弦函数都满足微分方程，即各自都是自身二阶导数的负值。在这个方程所有解的二维向量空间V中，正弦函数是唯一满足初始条件y(0) = 0和y′(0)= 1的解，而余弦函数是唯一满足初始条件y′(0)= 1+0和y′(0)= 0的解。由于正弦和余弦函数是线性无关的，它们共同构成了v的基础，这种定义正弦和余弦函数的方法本质上相当于使用欧拉公式。(见线性微分方程)。显然，这个微分方程不仅可以用来定义正余弦函数，还可以用来证明正余弦函数的三角恒等式。此外，观察到正弦和余弦函数被满足，这意味着它们是二阶算子的特征函数。正切函数是满足初始条件y(0) = 0的非线性微分方程的唯一解。有一个很有趣的直观证明，正切函数满足这个微分方程；参见李约瑟的视觉复合体分析。[2][编辑]弧度的重要性弧度通过测量沿单位圆的路径长度来指定一个角度，构成正弦和余弦函数的特定弧度角度。特别地，只有那些将弧度映射成比值的正弦和余弦函数才能满足描述它们的经典微分方程。如果正弦和余弦函数的弧度角与频率成正比，那么导数就与“振幅”成正比。这里的k是一个常数，表示单位之间的映射。如果x是度，说明度的正弦的二阶导数不满足微分方程，但是；余弦也是如此。这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，所以正弦的四阶导数又是正弦，只是它的辐射角是弧度。【编辑】三角恒等式主词条:三角恒等式在三角函数中有很多恒等式。最常用的一个是毕达哥拉斯恒等式，它声称正弦的平方加上余弦的平方对于任何角度都永远是1。这可以由勾股定理由斜边为1的直角三角形得到。在符号形式上，毕达哥拉斯的身份是:更多的时候写成在正弦和余弦符号后加“2”的幂:在某些情况下，可以省略内括号。另一个关键环节是和差公式，根据这两个角本身的正弦和余弦，给出这两个角和差的正弦和余弦。它们可以用托勒密的论证方法几何推导出来；也可以用代数中的欧拉公式得到。当两个角相同时，求和公式简化为更简单的方程，称为倍角公式。这些方程还可以用来推导积和差的恒等式，这在古代是用来把两个数的积转化为两个数的和，做类似对数这样更快的运算。三角函数的积分和导数可以在导数表、积分表、三角函数积分表中找到。【编辑】三角函数的特殊值三角函数中有一些常用的特殊函数值。函数名为0 sin 0 }-cos 1 }-tan 01 cot 1 sec 1 }-2cs C2 }-or...(当然还需要额外的还原。)函数╲角sincostan[编辑]反三角函数主项:反三角函数三角函数是周期函数，所以不是内射函数，所以严格来说不存在反函数。因此，要定义反函数，就必须限定它们的定义域，使得三角函数是双射函数。下面左边的函数由右边的等式定义；这些并不能证明身份。基本反函数通常定义为:对于反三角函数，符号sin？6?11和cos？6?11常用于arcsin和arccos。使用这个符号时，反函数可能会与这个函数的倒数混淆。使用以“arc-”为前缀的符号可以避免这种混淆，尽管“arcsec”可能偶尔会与“arcsecond”混淆。就像正弦和余弦一样，反三角函数是按照无穷级数来定义的。比如这些函数也可以通过证明它们是其他函数的不定积分来定义。比如正弦函数可以写成如下积分:在反三角函数的词条中可以找到类似的公式。使用复对数，这些函数可以扩展到复径向角度:
【编者】三角函数的性质和应用顾名思义，在三角学中至关重要，主要是因为以下两个结果。【编辑】正弦定律正弦定律声称，对于任意三角形，其边为A、B、C且相对于这些边的角度为A、B、C，则有:也表示为:李萨如曲线，由三角形底的函数形成的图像。把一个三角形分成两个直角三角形，用上面正弦的定义就可以证明。该定理中出现的公数(sinA)/a是通过A、B、c的圆的直径的倒数，正弦定理用于已知三角形的两个角和一条边时计算未知边的长度。这是三角测量中的常见情况。【编者】余弦定律余弦定律(也叫余弦公式)是托勒密定理的推广，同样可以用把一个三角形分成两个直角三角形来证明。余弦定律用于在已知三角形的两条边和一个角的情况下确定未知数据。如果该角度不包含在这两条边之间，则三角形可能不是唯一的(边-边-角度同余模糊性)。小心余弦定律的这种模糊性。[编辑]其他有用的属性包括正切定律:[编辑]动画的加法分析方波与增加谐波数的周期函数。三角函数在物理学中也很重要。例如，正弦和余弦函数用于描述简谐运动，它模拟了许多自然现象，如附在弹簧上的重物的振动和挂在绳子上的重物的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动的一维投影。三角函数在一般周期函数的研究中也被证明是非常有用的。这些函数具有作为图像的特征波形，这对于模拟声波或光波等循环现象是有用的。所有信号都可以写成不同频率的正弦和余弦函数之和(通常是无穷大);这是傅立叶分析的基本思想，用三角级数来解决各种微分方程的边值问题。例如，方波可以写成傅立叶级数。在右侧的动画中，您可以看到仅用几项就生成了非常好的近似值。