几何有完整的公理系统，代数有吗？

初等代数

作为中学数学课程的主要内容，初等代数的核心内容是方程理论。代数这个词的拉丁文意思是“回归”。在初等代数中，代数方程组的理论从一维线性方程组扩展到两个方面:一是增加未知数的个数，考察由几个含有几个未知数的方程组组成的二元或三元方程组(主要是线性方程组)；二是增加未知数，考察一元二次方程或拟二次方程。初等代数的主要内容基本上是在16世纪发展起来的。

古巴比伦(公元前19世纪~公元前17世纪)解决了一阶和二阶方程的问题，欧几里得的《几何原本》(公元前4世纪)用几何方法解决了二阶方程。《九章算术》(公元1世纪)中有三次方程和一次联立方程的解，用的是负数。在3世纪，丢番图使用有理数来寻找线性和二次不定方程的解。中国在13世纪出现的天球术(叶莉圈测海镜)，是一元高次方程的数值解法。意大利数学家在16世纪发现了三次和四次方程的解。

代数符号的发展史可以分为三个阶段。第一个阶段是在三世纪之前，当时问题的解决方法被写成了一篇论文，叫做叙事代数，没有缩写和符号。第二阶段是3世纪到16世纪，这一阶段对一些常见的求和运算进行了简化，称为简化代数。三世纪丢番图的突出贡献之一是简化了希腊代数，创造了简化代数。然而，从那以后的几百年里，叙事代数在除印度以外的世界其他地方都非常普遍，尤其是在西欧，直到15世纪。第三阶段是16世纪以后，问题的解法多以符号组成的数学速记来表示，与内容没有明显的联系，称为符号代数。16世纪，吠陀的代表作《分析方法导论》对符号代数的发展做出了许多贡献。16年底，维耶特开创了符号代数，经笛卡尔改进成为现代形式。

数字“+”和“-”最早出现在数学书上，是魏德曼在1489年写的。不过是大家官方认可的。作为加减的符号，是从1514年的Hojk开始的。1540年，Reckord开始使用现在的“=”。直到1591，吠陀才在他的作品中被广泛使用，并逐渐被人们接受。在1600中，哈里奥特创造了大于号">"和小于号"

数的概念的引申，在历史上并不完全是因为解代数方程引起的，但习惯上为了与这门课的安排相一致，把它放在初等代数中。公元前4世纪，古希腊人发现了无理数。公元前2世纪(西汉)，中国开始应用负数。1545年，意大利卡尔达诺开始使用虚数。1614年，英国的奈普尔发明了对数。17年末，逐渐形成了一般的实指数概念。

3.高等代数

在高等代数中，线性方程组(即线性方程组)发展成为线性代数理论；和-，二次方程发展成多项式理论。前者是现代代数的一个分支，包括向量空间、线性变换、类型论、不变量论和张量代数，后者是现代代数的一个分支，研究只有一个未知数的任意次方程。高等代数作为大学课程，只研究他们的基础。

行列式的概念最早是关晓鹤(日本人)在1683中提出的。行列式理论最系统的论述，是Jacoby在1841年写的《行列式的形成和性质》一书。逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念；在历史上，顺序正好相反。卡莱尔在1855中引入了矩阵的概念，并在1858中发表了该课题的第一篇重要文章《矩阵论研究报告》。

19世纪，人们对行列式和矩阵的关注度很高，关于这两个题目的文章有一千多篇。但是，它们并不是数学上的大改革，而是一种速记的表达方式。但是它们被证明是非常有用的工具。

多项式代数的研究是从探索三次和四次方程的根公式开始的。1515中，菲罗解决了简化为缺失二次项的三次方程的求解问题。1540年，法拉利成功发现了一般四次方程的代数解。人们不断寻求五阶、六阶或更高阶方程的求根公式，但这些努力200多年来都是徒劳的。

1746年，达朗贝尔首先给出了“代数基本定理”的证明(有一些不完善)。这个定理断言每一个具有实系数或复系数的n次代数方程至少有一个实根或复根。所以一般来说，n次代数方程应该有n个根。1799年，22岁的高斯写出了博士论文，给出了这个定理的第一个严格证明。1824年，22岁的阿贝尔证明了一般方程高于4次的所有系数的根不可能是它的根。1828年，年仅17岁的伽罗瓦创立了“伽罗瓦理论”，其中包含了方程用根号求解的充要条件。