如何在高等数学教学中渗透“极限”思想

摘要:极限作为数学中常用的基本概念之一，用于描述变量在某一变化过程中的极端状态，是一个事物无限趋近于某一状态的概念。极限思维是一种重要的数学思想，是数学知识的本质反映，是联系形象思维和抽象思维的纽带。在学习数学知识的初级阶段向学生渗透极端思想，不仅可以提高学生的抽象思维能力，还可以帮助他们掌握学习数学的思想和方法，使他们终身受益。本文阐述了小学数学教学中渗透极端思想的必要性，并结合数学公式、概念、习题、总复习等教学案例，探讨了小学数学教学中渗透极端思想的途径以及渗透过程中应注意的问题。

关键词:小学数学教学极端思想渗透

一、极限思想及其历史介绍

自从17世纪微积分建立以来，无穷的概念就成为人们关注的课题。无穷小的概念是微积分建立的基础。在研究物体的运动变化时，先把它看成一个无限可约的量，然后大于零，同时把它看成零而忽略，即认为是零。为了消除这一矛盾，数学家们进行了长期不懈的探索。19世纪法国数学家柯西完整地阐述了极限的概念和理论。在柯西的思想中，一个函数不是直接逼近极限，而是必须经过一个包含无穷小的表达式。他把无穷小看作以零为极限的变量，澄清了无穷小在变化过程中“似零非零”的模糊认识，其值可以非零，但其变化趋势是“零”，可以无限接近零。柯西极限理论是一个潜在无穷的过程，极限的完成是实无穷。可以看出，柯西理论中的势无穷和实无穷在一定程度上是统一的，但柯西对极限的定义仍有许多松散之处。经过Wilstras的进一步完善，最终提炼为“ε-δ”语言。

二，小学数学教学中渗透极端思想的必要性

小学的数学学习相对简单，学生离开学校不到两年就可能忘记学过的东西。但是，他们所学的那些数学思想和方法，都会记在心里，无论是在以后的工作中还是生活中，随时都可以发挥作用。因此，不断向学生渗透数学思想和方法，是学生掌握知识的关键。

在小学数学课本中，有很多与极限思维相关的知识点，比如自然数、奇偶数、循环小数，还有涉及无限延伸性的几何概念，比如直线、射线、角的棱、平行线的长度等。如果教师能把教学过程中所包含的极端思想和方法有意识地挖掘出来，适当地渗透给学生，不仅能使学生掌握知识点，发展思维，而且能使学生在今后的生活和工作中随时发挥作用。

三、小学数学教学中渗透极限思想的重要途径

小学生正处于身心发展阶段，是形象思维向抽象思维转化的阶段。他们对极端思想的理解是有限的，但并不意味着在教学过程中要淡化极端思想的渗透。在教学过程中，教师可以利用推导公式、学习新概念、练习复习的过程来渗透学生，提高学生的抽象思维能力。

(一)在推导公式的过程中，渗透极限的概念

在小学数学教学中，会有很多数学公式的推导，有些是利用极端思维推导出来的，教师可以利用这个过程潜移默化地渗透学生。利用极限思想推导公式最典型的例子就是圆的面积。

案例1:讲授“圆的面积”

在“圆的面积公式的推导”一课的教学中，教师经常要求学生连续对折一个圆。在不断折叠的过程中，学生可以发现，折叠的次数越多，折叠后的图形越接近三角形。展开后，圆沿着折痕被分割成几个近似等腰三角形。等腰三角形的两个腰是圆的半径，底是圆的圆周的一部分。在这个环节中，学生可以感受从曲线到直线的过程，了解从近似分割到无限细分的数学思想方法。

在公式推导过程中，采用了“化曲线为直线”、“化圆为方”的极限分段思想。在有限除法的基础上，让学生想象无限细分的最终状态，使学生不仅能记住公式，还能将无限逼近的极限思想渗透到头脑中。

(二)在学习新概念的过程中，渗透极限思想。

新概念对于小学生来说是新知识，是一个从无到有的过程。也有助于学生认识和理解数学中的专业术语，为以后的学习打下一定的基础。有些新概念含有一定的偏激思想，教师可以在教学的同时适当渗透学生，帮助他们更好地理解新概念。

案例2:讲授“循环小数的概念”

在“循环小数的概念”的教学中，概念性强，同时在这节新课中也包含了极限的思想。在讲循环小数的概念之前，老师经常会让学生讨论:0.999…和1哪个更大？学过方程的同学可能会把0.999…设为X，那么10x=9.99…，10x=x+9，9x=9，那么x=1，那么0.999…=1。那么没学过方程的同学可以在一些公式中找到规律:1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999 = 0.001.65438。这时，学生可以从这些公式中发现，9的小数部分每增加一位，其值就会多增加一个0，那么如果0.999的小数部分有无限多个9…，那么最后的结果就会无限接近0。

(三)在实践过程中渗透极端思想

数学学习一定离不开实践，实践是对所学知识的巩固和训练。但在实践中，教师往往忽视对学生数学思想方法的培养，数学思想方法的形成需要不断的积累和运用。因此，培养学生的数学思想方法，不仅需要教师在新课程教学过程中潜移默化地渗透，更需要在实践过程中不断地巩固和训练。

从图中可以很直观的看到，随着分数分母的增大，正方形所划分的空间越来越小，而空白部分的面积越来越大，以至于正方形的面积越来越接近1，所以当有无穷多项相加时，结果就接近1。

(四)在总复习过程中渗透极端思想。

总复习就是把以前学过的相对独立、分散的知识点集合起来，通过复习、归纳、总结，把知识点整理出来，形成知识网络，理清概念之间的关系，使数学知识在学生头脑中更加完整、有条理、有系统。

案例四:讲授“平面图形的整理与复习”

在这节课中，老师列出学生所学过的平面图形，包括长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形，并分析它们的特点。如果借助极限思想梳理梯形面积公式，如何推导其他图形的面积公式？梯形的面积公式:S=(上底+下底)×高÷2。假设梯形的上底无限接近0，得到的图形类似于一个三角形，S=下底×高÷2，即三角形的面积公式:S=(上底+下底)×高÷2。同理，如果长方形的两条边趋于垂直于底边，正方形的四条边趋于相等，平行四边形的上下底边趋于相等，就可以推导出各个平面图形的面积公式。

S=(a+b)h÷2

通过知识网络系统图的构建，让学生对所学平面图形的面积公式有了更深入的理解，让学生知道解题的方法不只有一种，帮助学生形成更完整的认知结构，让极端的思想潜移默化地印在脑海中。

第四，重视小学数学教学中极端思想的渗透

在小学阶段，学生的逻辑思维和抽象思维能力较弱，而极端思维的逻辑性和抽象性很强，小学生很难理解。首先，在教学过程中，教师要根据学生各个学习阶段的理解水平和知识特点，由浅入深，由具体到抽象，由感性到理性，逐步渗透和螺旋上升。其次，极限思维方法不像一般的数学知识，通过几节课的学习就能掌握。只有通过不断的循序渐进，反复训练，学生才能真正理解。最后，教师要努力挖掘课本中可以渗透极端思想的知识点，将极端思想融入到小学数学教学中。

参考资料:

[1]李军.小学数学教学中极端思想的渗透[J].黑龙江教育，2008。

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