关于莱昂哈德·欧拉故事的思考
[编辑此段]莱昂哈德·欧拉-投稿
“欧拉的计算似乎毫不费力，就像一个人呼吸，像一只鹰在风中盘旋(在阿拉戈)。伦纳德·欧拉(1770-1783)的这封信，对于他无与伦比的数学天赋来说，一点也不为过。他是历史上最多产的数学家。他的同时代人称他为“分析的化身”。欧拉写一篇长长的学术论文就像一个反应敏捷的作家给一位密友写信一样容易。即使他在生命的最后17年完全失明也没能阻止他巨大的生育能力。如果说失明有什么影响的话，那就是改善了他内心世界的思维想象力。直到1936，人们才确切知道欧拉到底写了多少作品。但预计出版欧拉文集需要60到80卷。65438年至0909年，瑞士自然科学联合会着手收集和出版欧拉文集的学术论文。这项工作得到了全世界许多个人和数学团体的资助。这恰恰说明欧拉属于整个文明世界，而不仅仅是瑞士。为这部作品精心准备的预算(1909硬币约80000美元)被圣彼得堡(列宁格勒)大量欧拉手稿的意外发现彻底打破。
[编辑此段]莱昂哈德·欧拉-迪兹
欧拉的数学生涯始于牛顿去世的那一年。对于欧拉这样的天才来说，不可能选择一个更有利的时代。解析几何(1637)应用了90年，微积分应用了50年左右，物理天文学的关键——牛顿万有引力定律，在数学中放在人们面前用了40年。在这些领域中的每一个领域，大量孤立的问题都得到了解决，并且各地都进行了明显的统一它们的尝试。但是还没有像后来那样对整个数学、纯数学、应用数学进行过系统的研究。特别是德克拉特斯、牛顿和莱布尼茨的强有力的分析方法，并没有像后来那样得到充分的利用，特别是在力学和几何中。当时的代数和三角学已经系统化，在较低的层次上展开。尤其是后者，已经得到了基本的改善。在费马的丢番图分析和一般整数性质领域，不可能有这种“暂时的完美”(即使是现在)。但在这方面，欧拉也证明了自己确实是大师。事实上，欧拉多面性天赋的一个最显著的特点是，他在数学的两个分支——连续数学和离散数学上具有相同的能力。作为一名算术家，欧拉从未被任何人超越。也许除了雅各比，没有人能接近他的水平。算法学家是设计算法来解决各种特殊问题的数学家。举个很简单的例子，我们可以假设(或者证明)任何一个正实数都有一个实平方根。但是怎么才能算出这个根呢？已知的方法有很多，算法科学家应该设计切实可行的具体步骤。比如，在丢番图分析和积分学中，在一个或多个变量被其他变量的函数巧妙地(往往是简单地)变换之前，往往无法解决问题。算法学家是数学家，他们自然会发现这个窍门。他们没有任何相同的程序可循。算法学家就像可以随便作打油诗的人——他们是天生的，不是后天培养的。目前时尚鄙视“小算术家”。然而，当一个真正伟大的算术家，如印度的罗·马努·阔，突然从某个地方冒出来时，即使是经验丰富的分析家也会欢呼他是上天的礼物:他对看似无关的公式的神奇洞察力将揭示从一个领域通向另一个领域的隐藏线索。以便分析者能为他们找到新的话题来找出这些线索。算法学家是“公式主义者”，他们喜欢漂亮的形式是为了公式本身。
[编辑此段]莱昂哈德·欧拉——影响他的两个因素
在谈论欧拉宁静而有趣的生活之前，我们必须介绍他那个时代的两个环境因素，这两个环境因素促进了他惊人的活跃，并指导了他的活动。在18世纪的欧洲，大学并不是学术研究的主要中心。如果没有古典主义的传统及其对科学研究可以想象的敌意，大学本可以成为主要的中心。数学对古代人来说足够严谨，受到重视；物理比较新，被人怀疑。此外，在当时的大学里，数学家们被期望将大部分精力投入到基础教学中。至于学术研究，如果进行的话，那将是一种无用的奢侈，就像今天美国普通高校一样。那时候英国大学的科研人员已经可以相当好的做自己选择的课题了。然而，他们很少愿意选择任何话题。反正他们有什么成就或者没有成就，都不会影响他们的饭碗。在这样的放松，或者说公开的敌意下，没有很好的理由来解释为什么那些大学本应该在科学发展上领先，而事实上却没有。带头的责任由慷慨或有远见的统治者资助的皇家学院承担。普鲁士的腓特烈大帝和俄国的凯瑟琳女皇对数学慷慨地给予了死不悔改的支持。他们使数学的发展有可能处于科学史上最活跃的时期长达整整一个世纪。对欧拉来说，是柏林和圣彼得堡提供了数学创造的力量。而这两个创造力的中心应该把对欧拉的启发归功于莱布尼茨的进取雄心。是莱布尼茨起草了这个计划。这两个学院为欧拉提供了成为历史上最多产的数学家的机会。所以，从某种意义上说，欧拉是莱布尼茨的后代。由于缺乏大脑，柏林科学院已经衰落了40年。在腓特烈大帝的鼓励下，欧拉给了它强大的冲击力，让它重新焕发了生机。彼得大帝生前没来得及按照莱布尼茨的计划建立的圣彼得堡科学院，是他的继任者建立起来的。这两个院不像今天的一些院，不以对写得好的优秀作品进行评审、授予院士资格为主要职责。他们是聘请院士进行科学研究的研究机构。工资和津贴很丰厚，足以保证一家人过上舒适的生活。欧拉家一度不下18，他足以让他们都过上富足的生活。18世纪院士生活吸引人的最后一点是，只要他的子女有什么天赋，就一定会得到很好的施展机会。接下来，我们将看到对欧拉丰硕的数学成果有决定性影响的第二个因素。提供经济支持的统治者自然希望自己的钱能换来抽象文化之外的东西。但是，必须强调的是，一旦统治者的投资得到了适当的回报，他们就不再坚持让被雇佣者把剩下的时间花在“生产性”的工作上。欧拉、拉格朗日等院士可以自由地做自己喜欢的事。没有明显的压力去强迫任何人生产一些政府可以直接使用的东西。18世纪的统治者比今天的许多研究所所长更明智，让科学按照自己的规律发展，但偶尔也会提到自己目前需要什么。他们似乎本能地意识到，所谓“纯粹”的研究，只要时不时地做出适当的暗示，就会让他们所期待的迫切的实际问题成为副产品。这个一般的说法有一个重要的例外，既不证明也不否定这个规律。恰好在欧拉的时代，数学研究中尚未解决的问题恰好与海上霸权有关，这在当时或许是头等实际问题。一个在航海技术上胜过所有对手的国家，必然会控制海洋。航海的第一个问题就是要精确地确定舰船在离岸数百海里的大海中的位置，使其能够比敌人更快地到达海战的地点(可惜，就是为了这个)。众所周知，英国控制着海洋。它能做到这一点，很大程度上是因为它的航海家能够在18世纪将天体力学中的纯数学研究成果应用于实践。这样的实际应用与欧拉直接相关。牛顿是现代航海的创始人，虽然他自己从来没有为这个问题烦恼过，也从来没有(据人们所知)踏上过船的甲板。确定一艘船在海上的位置取决于对天体的观测(有时这包括特殊航程中木星的卫星)。牛顿万有引力定律表明，如果有必要，有足够的耐心，可以提前计算出行星的位置和月相。之后，那些希望控制海洋的人将安排航海天文日历的计算器努力编制行星未来位置的表格。在这个非常实际的事业中，月球提出了一个特别棘手的问题，就是牛顿定律吸引三颗星的问题。当我们进入20世纪，这个问题会多次重现。欧拉是第一个针对这个月球问题提出可计算解(月球理论)的人。三颗相关的星星是月亮、地球和太阳。虽然这个问题在这里没什么好讲的，会推到后面几章，但是我们可以说这个问题是整个数学范畴中最难的问题之一。欧拉没有具体回答这个问题，但他的近似计算方法(今天被更好的方法所取代)具有足够的实用价值，足以使英国的计算器为英国海军部算出月表。为此，计算器得到了5000英镑(这在当时是一笔相当大的数目)，欧拉因为他的方法得到了300英镑的奖金。
[编辑此段]莱昂哈德·欧拉——年轻的欧拉
LeonardEuler，PaulEuler和MargueriteBrucker的儿子，大概是瑞士最伟大的科学家。他出生在巴塞尔。但第二年，我和父母搬到了附近的里臣村。在那里，他的父亲成为了一名加尔文主义牧师。保罗·欧拉本人就是一位有成就的数学家。他是雅各布·伯努利的学生。父亲希望伦纳德走自己的路，继承他在乡村教堂的职位。但是，谢天谢地，他在教这个男孩数学时犯了一个“错误”。年轻的欧拉很早就知道自己应该做什么。但他对父亲很孝顺，所以去了巴塞尔大学学习神学和希伯来语。这时，在数学上有相当水平的欧拉引起了约翰内斯·伯努利的注意。他热情地每周给这个年轻人单独上一次课。欧拉利用一周的剩余时间预习下一课，这样在听老师讲课的时候，难题就越少越好。很快，他的勤奋和杰出的能力引起了丹尼尔·伯努利和尼古拉·伯努利的注意，他们成了欧拉的挚友。伦纳德直到1724岁拿到硕士学位才开心起来，因为在此之前，他的父亲坚持要他放弃数学，把所有时间花在神学上。只是当这位父亲听到伯努利和他的儿子说他的儿子注定要成为一名伟大的数学家而不是李星的牧师时，他才最终让步。伯努利父子的预言实现了，但欧拉早期的宗教训练影响了他的一生。他从未放弃一点加尔文主义的信仰。到了晚年，他甚至在相当程度上转向了父亲的生意。他带领全家人做家庭祈祷，通常以布道结束。欧拉的第一份独立工作是在19岁完成的。据说，这第一项成就也揭示了他后来许多工作的优缺点。1727，巴黎科学院针对船舶桅杆问题提出奖励。欧拉的论文没有获奖，却受到了表扬。他后来通过赢得12奖金弥补了这一损失。他工作的特长在于分析——技术数学；它的弱点是太脱离现实，如果有的话。如果我们还记得瑞士海军的传奇笑话，就不会对后者感到奇怪了。欧拉可能在瑞士的湖里见过一两艘船，但他从未见过军舰。他有时因使数学脱离现实而受到批评。这没有错。对于欧拉来说，物质世界正是数学所需要的，但它本身并不是一件很有趣的事情。如果世界和他的分析不一致，那就是世界有问题。欧拉知道自己生来就是数学家，于是申请了巴塞尔的教授职位。在找不到工作后，他继续他的学业，希望能与圣彼得堡的丹尼尔·伯努利和尼奥拉之墓古拉·伯努利有所接触。伯努利兄弟热情地提出在圣彼得堡科学院给他找个职位，让他及时了解那里的情况。在这个阶段，欧拉似乎对自己做的事情漠不关心，只要是科学。当伯努利兄弟写信告诉他圣彼得堡科学院医学系将有一个空缺时，欧拉在巴塞尔投身于生理学的研究，并参加了医学报告会。然而，即使在这个领域，他也无法脱离数学:听觉生理学提出了一些数学研究问题，比如轮流以波传播声音。这部早期作品像噩梦中疯狂生长的树一样分支扩张，贯穿了欧拉的一生。伯努利兄弟是敏捷的人。1727年，欧拉收到了去圣彼得堡做科学院医学部成员的邀请。根据一个巧妙的规则，每个外国成员必须带两个学生——实际上是实习生。可怜的尤拉，喜悦很快消失得无影无踪。在他踏上俄罗斯土地的那一天，开明的凯瑟琳一世女王去世了。叶卡捷琳娜在成为彼得大帝的妻子之前是他的情妇。从不止一个方面来看，她已经是一个心胸开阔的人了。正是她，在任职仅两年后，实现了彼得建立科学院的愿望。叶卡捷琳娜死后，在小沙皇还未成年的时候，权力就落入了一个非常专制的集团手中(也许是运气好，小沙皇还没来得及掌权就去世了)。俄罗斯的新统治者将科学院视为不必要的奢侈品，几个月来甚至计划将其砍掉，并将所有外国院士遣送回国。这是欧拉到达圣彼得堡时发生的事情。在混乱中，没有关于他被邀请在医疗部门担任的职位的消息。绝望中，他差点接受了海军上尉的头衔，然后他溜进了数学系。之后，条件好了，欧拉就专心工作了。六年来，他一直沉浸在书本中。这并不完全是因为他被数学吸引，部分原因是因为到处都有间谍，这让他不敢进行正常的交流活动。
[编辑此段]莱昂哈德·欧拉——轶事
1733年，丹尼尔·伯努利受够了神圣俄国的苦难，回到了自由的瑞士。26岁时，欧拉获得了科学院的第一个数学席位。他觉得自己以后的生活就固定在圣彼得堡了，于是决定结婚，安定下来，顺其自然。他的妻子凯瑟琳娜是被彼得大帝带回俄罗斯的画家格塞尔的女儿。后来，政治形势变得更糟了。欧拉不顾一切地想要逃离，但随着孩子很快一个接一个地出生，他感到越来越被束缚，他去无休止的工作中寻求安慰。一些传记作者将欧拉巨大的生产力追溯到他第一次生活在俄罗斯的时候；平常的谨慎，迫使他成为了一种牢不可破的努力习惯。欧拉是几个可以在任何地方、任何条件下工作的伟大数学家之一。他很喜欢孩子(他自己曾经有过13个孩子，但除了5个都夭折了)。当他写论文时，他经常把一个婴儿抱在腿上，而大孩子在他周围玩耍。他用难以置信的轻松写出最难的数学作品。许多关于他才华横溢的传说流传至今。有些无疑是夸张的，但据说欧拉经常在两次请他吃饭的时候，半个小时左右就开出一篇数学论文。文章一写完，就被放到不断增加的书稿堆里，供印刷商使用。当《科学院学报》需要材料时，印刷者从最上面的一堆中拿走。因此，这些文章的出版日期经常与写作顺序相反。由于欧拉习惯于反复做一个主题，以此来理解或扩展他已经做过的事情，所以这种恶的结果更加严重，以至于有时会以相反的顺序发表一系列关于一个主题的文章。1730年，小沙皇死了，安娜·阿尔瓦诺夫娜(彼得的侄女)成了皇后。就科学院而言，它的工作要活跃得多。在安娜最喜欢的欧内斯特·约翰·德·比隆的间接统治下，俄罗斯遭受了历史上最血腥的恐怖统治。10年，欧拉默默地埋头工作。在此期间，他遭受了第一次巨大的不幸。为了获得巴黎奖，他致力于一个天文问题，几个有影响的数学家花了几个月才算出来(因为高斯也出现过类似的问题，这里就不介绍了)，三天后欧拉就解决了。然而，过度劳累使他得了一种疾病，在这种疾病中，他失去了右眼。需要说明的是，怀疑数学史上所有轶闻的现代考证已经指出，欧拉右眼失明根本不能归咎于那个天文问题。至于一个有学问的考证学者(或者其他什么人)怎么会对所谓的因果律知道那么多，对于大卫·休谟(欧拉同时代的人)来说，这是一个有待解决的秘密。先仔细说说著名的欧拉和无神论者(也许是泛神论者)法国教授丹尼斯迪罗特(1713-1784)的故事。这个有点不按时间顺序，因为发生在欧拉第二次在俄罗斯居留期间。狄德罗受凯瑟琳二世女王之邀参观宫廷，靠向朝臣宣传无神论为生。叶卡捷琳娜觉得无聊，就让欧拉让这个自吹自擂的哲学家闭嘴。这很容易，因为整个数学对狄德罗来说是一个谜。德摩根讲过这个故事(在他的代表作(悖论集)，1872):狄德罗被告知，一位博学的数学家有上帝存在的代数证明。如果他想听，数学家会在整个法庭面前宣布。狄德罗愉快地同意了。.....欧拉来到狄德罗面前，用自信的口吻郑重地说:“先生，因为，因此，上帝是存在的。请回答！”这让狄德罗听起来很有道理。这个可怜的人被尴尬的沉默所羞辱，不得不要求叶卡捷琳娜立即返回法国。女王慷慨地答应了他。欧拉并不满足于这部杰作，他极其严肃地用灵魂这种无形物质的庄严证明来画蛇添足。据说这两个证明当时被写进了神学论文。就欣赏现实而言，这些大概是欧拉才华最杰出的代表作品。欧拉在俄罗斯生活的时候，数学本身并没有用尽他所有的能力。无论他在哪里被要求以一种不太远离纯数学的方式展示他的数学才能，他都让政府的钱花得值。欧拉为俄国学校编写了一些初等数学教科书，管理政府的地理部门，帮助改革度量衡，设计了检验天平的实用方法。这些只是他所有活动的一部分，但不管欧拉做了多少其他工作，他总能在数学上出成果。这一时期最重要的作品之一是1736中的一篇关于力学的论文。注释中没有出版日期，但有一个标记，标志着德克拉特斯出版解析几何一百周年。欧拉的论文对力学的贡献就像德赖斯的论文对几何学的贡献一样，摆脱了综合证明的束缚，使其成为解析的。牛顿的(原理)可以由阿基米德写出；欧拉的力学不是任何一个希腊人能写出的。强大的微积分最初被引入力学，它进入了一个创建基础科学的现代时期。在这方面，欧拉后来被他的朋友拉格朗日超越，但迈出决定性步伐的荣誉属于欧拉。1740年安娜死后，俄国政府变得更加开明，但欧拉吃够了苦头，愉快地接受了腓特烈大帝对柏林科学院的邀请。皇太后很喜欢欧拉，想办法让他多说话。她得到的只是一个单音节的回答。“你为什么不和我说话？”她问。“陛下，”尤拉回答道，“我来自一个国家，任何说话的人都会被绞死。”之后，欧拉在柏林度过了24年。生活并不总是愉快的，因为弗雷德里克喜欢圆滑的朝臣，而不是纯粹的欧拉。虽然腓特烈觉得有责任赞助数学的发展，但他看不起这门学科，自己也不熟悉。但他还是很欣赏欧拉解决硬币、水管、运河航行、年金制度等实际问题的能力。俄罗斯从来没有让欧拉彻底摆脱，甚至在他在柏林的时候还给他发了一部分工资。虽然欧拉有一个大家庭，但他仍然很富有。除了柏林的房子，他在夏洛特堡附近还有一个农场。1760年俄国入侵勃兰登堡时，欧拉的农场被洗劫一空。俄军总司令宣称“没有与科学开战”，并给予欧拉远大于实际损失的赔偿。伊丽莎白女王听到尤拉被抢的消息后，也给了他一笔超出赔偿需要的可观的钱。欧拉在腓特烈的宫廷中不受欢迎的一个原因是他无法置身于哲学问题的争论之外，而他对此一无所知。整天只想奉承腓特烈的伏尔泰，喜欢和腓特烈身边其他善于咬文嚼字的人一起用形而上学的问题戏弄不幸的欧拉。欧拉拿出自己所有的好脾气来应对，用别人的吵闹来嘲笑自己搞笑的错误。但腓特烈渐渐恼火了，他开始试图找一个更能言善辩的哲学家来领导他的科学院，为他的宫廷增添欢乐。达朗贝尔被邀请到柏林视察情况。他和欧拉在数学上有分歧。但达朗贝尔不是那种让个人不和影响判断的人。他直截了当地告诉弗雷德里克，把任何其他数学家放在欧拉之上都是一种侮辱。这个建议只让弗雷德里克比以前更加愤怒和固执，欧拉的处境变得难以忍受。他觉得他的孩子在普鲁士不会有前途。终于在59岁的时候(1766)，他收拾行李，在叶卡捷琳娜二世的热情邀请下，再次搬到了圣彼得堡。叶卡捷琳娜像皇室一样欢迎这位数学家，给欧拉和他的18家庭成员分配了一套家具齐全的房子，还把他的一个厨师让给欧拉管理他的伙食。这时，欧拉剩下的一只眼睛开始失明(由于白内障)，他很快就完全失明了。在他逐渐丧失视力期间，拉格朗日、达朗贝尔和当时的其他伟大数学家在通信中表达了震惊和同情。欧拉本人面对失明也很淡定。毫无疑问，他深厚的宗教信仰帮助他面对未来。但他没有让自己屈服于沉默和黑暗，很快开始补救自己无法挽回的视力。在最后一道光消失之前，他习惯了用粉笔在石板上写公式，然后他的孩子们(尤其是【AlbertEuler】)成了抄写员，然后他口述公式的解释。他的数学新书没有减少，反而增加了。欧拉很幸运，他一生都有非凡的记忆力。他背诵了维吉尔的《埃涅阿斯纪》。虽然他从小就很少看这本书，但他总能说出自己版本的真实始末。他的记忆是视觉和听觉的。他还有惊人的心算能力。他不仅能计算算术问题，还能计算需要高等代数和微积分的难题。当时整个数学领域的主要公式都准确地装在了他的脑子里。作为他心算能力的一个例子，孔多塞说欧拉的两个学生对一个复收敛级数(一个变量的特定值)的前65，438+07项求和，结果在第50位只有个位数的差别。为了决定哪一对是正确的，欧拉进行了心算，人们确信他的答案是正确的。这种能力现在已经帮助了欧拉，使他少受失明之苦。但即便如此，令人难以置信的是，他失明了17年。这就是月球运动的理论——唯一困扰牛顿的问题——第一次被欧拉彻底研究。整个复杂的分析过程完全是在他的头脑中进行的。欧拉回到圣彼得堡五年后，另一场灾难降临在他头上。在1771的大火中，他的房子和所有家具都被烧毁了。多亏了瑞士仆人彼得·格林的勇敢，欧拉才得以幸存。格林冒着生命危险把生病的盲人大师从火中救了出来。藏书付之一炬，多亏奥尔洛夫伯爵，欧拉的所有手稿得以保存。凯瑟琳王后立即赔偿了欧拉的所有损失，他很快就回去工作了。1776年(也就是他69岁的时候)，欧拉遭受了更大的损失，他的妻子去世了。第二年，他又结婚了。第二任妻子萨洛姆·阿比盖尔和格塞尔是第一任妻子的同父异母姐妹。他最大的不幸是恢复左眼视力的手术失败(很可能是因为主刀医生的疏忽)，这原本是唯一有一点希望的眼睛。手术“成功”了，欧拉高兴了一阵子。但很快感染开始了，在他描述为“可怕”的疼痛之后，他又陷入了黑暗之中。回去浏览欧拉的卷帙浩繁的作品。乍一看，我们可能倾向于认为任何有天赋的人都可以像欧拉一样轻松地充分利用它。然而，对比今天数学的情况，我们很快就会纠正我们的错误，并认为它是七种语言的单一书籍。这也表明，公众对科学的兴趣不仅是最近才增加的，而且有时我们倾向于这样想象。欧拉直到去世前一刻都保持着充沛的精力和清醒的头脑。那是在1783。