芝诺的二分法悖论

芝诺，古希腊以利亚哲学家，是一个非常有趣的人物。他以提出“二分法”和“阿喀琉斯追不上兔子”的悖论而闻名。在这些悖论中，芝诺否认物质运动的存在。这是荒谬的，但他的理由是如此雄辩，无懈可击，在19世纪之前，没有人能反驳他。

在二分法的悖论中，芝诺想证明一个行走的人永远无法到达他的目的地，所以不可能运动。现在，让我们用自己的语言来分析芝诺的观点。请先看右图:

正在走的人从一个地方出发，到x地方。首先，他必须经过标有1/2的B点，而这个点恰好是A-X的中心点，然后，他还要经过标有3/4的C点，这个点就是B-X的中心点，然后，从C点出发，他还要经过一个中心点，也就是标有7/8的D点，才能到达X点，从D点出发，他还要经过D-X的中心点E，以此类推。不管他离X多近，都要先经过中心点。但是，我们知道，这些中心点是无穷无尽的，哪怕是微小的距离，总有一个地方是这个距离的中心点。因为中心点是无穷无尽的，行者离终点越来越近，却始终无法到达终点。

芝诺的论点是典型的悖论。能分析一下吗？

这些悖论有这样一个特点。历史上人们以为解决了很多次，后来发现根本不是那么回事。所谓的解，成了悖论成立最有力的证据。现在普遍认为二分法悖论已经被极限理论解决了，但事实真的是这样吗？

芝诺悖论能用无穷级数求和解决吗？

彭哲业(景甜男人)

有一种想法认为这个问题可以用无穷级数求和来解决(二分法和阿喀琉斯追龟)。

我们假设一个物体最终到达目的地后所走过的空间距离是1，所走过的时间距离是1。首先，让我们假设该物体没有最后一个中点，那么该物体在通过无限个中点后在空间中行进的距离S是:

S = 1/2+1/2 2+...1/2n =(2n-1)/2n = 1-1/2。

我们可以看到，其中的S是无限趋近实际达到的空间距离1。但是，无限接近不等于，就是对象没有最终到达。

现在让我们假设还有最后一个中点。

然后是

s=1/2+1/2^2+1/2^2

s=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^3

.............

s=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n

=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1

也就是说，物体经过最后一个中点与终点之间的距离后所走过的距离，与物体实际走过的距离是一致的。

从上面的计算，我们可以简单的看出，如果一个物体到达终点，那么它已经过了最后一个中点。如果它没有通过最后一个中点，它就不能到达终点。

同样，我们可以计算出一个物体通过一个无限中点所需的时间。假设实际到达时间为1。如果物体没有要经过的最后一个中点，则物体通过无限中点所需的时间t为:

t=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n

可以看出，这里的t是无限近物体实际到达终点所需的时间，但无限近不等于。

如果某样东西还有最后一个中点，那就是

t=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n

=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1

也就是说，物体走过最后一个中点和终点之间的距离所用的时间，和它实际到达的时间是一样的。

从上面的计算可以清楚地看到，如果一个物体还有最后一个中点要走，那么它所用的时间和实际到达的时间是一样的。如果一个物体没有最后的中点可走，它所用的时间只能是无限接近的物体实际到达终点所用的时间，而不等于。

所以无穷级数求和的结果是，如果事物能到达终点，就必须经过最后一个中点。但是事物是如何通过最后一个中点的呢？这里没有依据。换句话说，二分法的悖论依然存在。或者说，这种对无穷级数求和的方法，加深了这种悖论的逻辑。二分法悖论和阿喀琉斯追龟悖论，其实是同一个悖论的两种表现形式。二分法无法解决，但阿喀琉斯对海龟的追求依旧。