想想非凡的科学巨擘是怎么炼成pdf的。

曹则贤(中国科学院物理研究所研究员，博士生导师)

艾萨克·牛顿爵士(1643-1727)是英国数学家、物理学家和天文学家。牛顿是数学和物理学的先驱人物。他的流动数和基于无穷多项式的分析开辟了微积分的数学领域，而他的自然哲学的数学原理奠定了经典力学的基础。此外，他还第一个用棱镜观察并记录了太阳光的折射，提出了光粒子理论。牛顿被认为是人类历史上最伟大的科学家。他的墓志铭是英国诗人亚历山大·蒲柏模仿《圣经》的第一句话写的:“自然和自然法则隐藏在黑夜中；上帝说“让牛顿去吧！“一切都是光(自然法则和自然隐藏在黑暗的夜晚；上帝说:“让牛顿来吧”，宇宙一片光明。”

牛顿是当今世界熟悉的人物，没有必要在他的生平和轶事上多费笔墨。我们直接看他的两大成就，微积分和牛顿力学，看看是什么启发了他，牛顿是如何把灵感的火花扩展成一个学习的体系的。

二项式展开和微积分

用英语讲微积分，我们会用到微积分，就像欧几里得的《几何原本》一样。用定冠词the，强调所指内容是被尊崇的独特存在。微积分对于很多人来说曾经是高深学问的代名词，也许这种情况还会持续很长一段时间。

在英语中，积分这个词是积分学，微分是微分学。微积分中文翻译成微积分。其实这个词的本义应该是计算，一个计算系统。求极值，二维几何的面积，三维几何的体积，都是一些老问题。古代中国和希腊已经取得了一些成果。17世纪下半叶，关于无穷小分析的观点、方法和具体发现已经很多，是时候有人把它整理成一门全新的知识了。德国莱布尼茨在1684发表了一篇文章，文章中使用了calculi这个词。等到1696法国人纪尧姆·德·拉赫的时候？Spital)写了这一领域的第一本教材《微积分》，成为这门新学问的名字。

虽然历史上牛顿和莱布尼茨有过关于微积分发现先后的争论，但有一点是肯定的:牛顿研究并发现了微积分。那么，牛顿发现微积分的关键一步是什么？它是二项式展开的推广。

只要你愿意，你可以得到任意次幂的二项式展开式，其中n是自然数。杨辉三角形(西方人称帕斯卡三角形)(图1)总结了所有二项式展开的系数。杨辉三角好记:每行比前一行多一项，始终以1开头和结尾，中间的数是前一行相邻两个数相加得到的。不要以为你很容易就知道杨辉三角。这种数学对象包含了常人无法想象的丰富而深刻的内容。

图1杨辉三角形，第n行的数字是对应展开中每一项的系数。

对我们大多数人来说，这种知识的二项式扩展是一种严格的教条。但是，在牛顿眼里，知识是可以扩展、发展和用于超越的。大牛顿把上面的二项式展开式推广到指数是分数甚至是负数的情况，也就是他不仅会展开这样的二项式，还会展开这样的多项式。牛顿给出了展开式的一般表达式，其中p和q为任意实数，m/n为分数，即

在这里，A，B，C，D…代表字母出现之前的那个。当然，这个扩展包括无限多的项目。牛顿用右展开来验证他的展开式是否正确，他找到的展开式是。对这个公式的右边求平方，可以发现结果是无穷级数，这个你可以自己验证。这是一个众所周知的比例级数，其和为，证明上述展开是正确的。世界是奇妙的，这种奇妙需要牛顿这样的人来揭开它上面的面纱。

这样，无穷级数的形式就可以表示一般函数f(x)。牛顿进一步发展了求逆级数的方法，即从无穷级数出发，得到级数。二项式展开式的推广和求逆级数的方法是牛顿发展微积分的重要工具。

用这个二项式展开，牛顿要证明曲线是从0到任意x(x >；0)占地面积。牛顿在这个问题上的论证过程给人一种杂乱无章的感觉，包含了大量的逻辑漏洞，因此被誉为“一种简洁而难以理解的形式”。无论如何，牛顿的论点可以用现代数学语言表述如下:对于任意实数A，函数的一阶微分为。有了这种关系，微积分的发展就走上了一条坦途。

在牛顿中，微分叫做通量，积分叫做通量的逆方法。Fluxion和其他表示流动的英语单词如flow、continuous、flux一样，是一个同源词，与流量或速度有关。把位置随时间的变化作为时间的函数，这个函数的流数，或者微分就是速度。万物都在流动，物理学的方程式本质上就是流动的方程式。

苹果和重力

关于牛顿有一个神奇的传说，说是有一天牛顿坐在一棵苹果树下，一个苹果[1]碰巧掉在他的头上，让他体会到了万有引力的奥秘。有人说这个传说是虚构的，但在他的熟人后来的著作中也有。但是，由于牛顿的巨大影响，人们宁愿相信这个传说是真的。牛顿的母校剑桥大学三一学院就种了这样一棵苹果树(如图2)，据说就是曾经激励牛顿的苹果树的后代。这是一个关于大发现的瞬间或大发现的灵感的记忆符号。人们很容易介绍牛顿苹果树的后代，但能被启发的苹果还没等来能被启发的牛顿的大脑。

图2剑桥大学三一学院后来种植的苹果树。

且不说有没有这样一棵苹果树，那棵树上的一个苹果落在牛顿头上，启发了牛顿，从而使他能够理解万有引力的奥秘。可以肯定的是，牛顿在研究行星运动规律时，注意到了地球上的落体运动，成熟水果的下落是一种自然的自由落体运动。其实早在牛顿出生之前，伽利略就已经画出了落体定律，开普勒也已经实现了行星运动三定律。

很久以前，人们认为力导致运动。人类认识史上的一大进步就是对惯性定律的认识。一切物体都有惯性，不受外力的物体保持静止或匀速运动(这后来被表述为牛顿第一定律，但其实早在牛顿之前就被认识到了)——力是运动变化的原因。当时人们所说的力是压力、摩擦力、推力等接触力。

天空中行星的运动让无数人好奇。历史上很多古文明都观测过行星的运动。开普勒从1609-1619把太阳作为行星运动的参考点，从而总结出著名的行星运动三定律。第一定律说行星在以太阳为焦点之一的椭圆轨道上运动，第二定律说行星在单位时间内相对太阳扫过相同的面积。这是为什么呢？或者说是什么样的力使得行星采取这种运动形式？人们想要回答这样具有挑战性的问题。

行星向前飞行，并不断改变其运动的方向和速度。一个直观的想法是，股票指数的向前拉力会推动地球前进。但是这种力量从何而来？如果有，那么这个力的来源一定不是接触力，而应该是超距作用。认识到距离作用的存在，是人类认识史上的一大进步。那么这种超距力应该是什么样子的呢？

也许是落下的苹果启发了牛顿。苹果一旦脱离了树，马上就直直地掉在了地上，说明地球对它的距离效应一直都在。也许地球对月球、太阳和天空中的那些恒星有这样的距离效应，当然太阳也应该以这样的距离效应影响行星的运动。另一方面，苹果落在它的头上，伤了它，因为它挡住了它的路。如果没有碰到一个人的头，它总会掉在地上。如果没有地面或者在地面上挖了一口井，苹果就会一直往下掉。天啊，那个苹果永远会落到地心。那个距离力，确切的说是地球对苹果的吸引力，永远指向地心！这个时候牛顿应该已经体会到了万有引力或者万有引力的真谛:万有引力存在于一切物体之间，是距离的函数，是一个中心力。

那么，假设太阳和行星之间的引力是向心的，这能解释行星轨道的观测性质，也就是开普勒三定律吗？牛顿假设物体之间的引力是一种沿着它们之间的直线的向心力，其大小与距离的平方成反比。他用平面几何证明了这样的行星轨道确实是以太阳为焦点的椭圆。有了这个结论，开普勒第二、第三定律就很容易证明了。牛顿对开普勒第一定律的证明包含在他的著作《自然哲学的数学原理》中。图3显示了牛顿在一英镑纸币上的证明的简化图。当作者看着这张图去证明的时候，如一个赤贫的人面对一颗两公斤重的钻石，惊讶而不知所措。如果有人觉得自己擅长平面几何，不妨试着了解一下牛顿的证明过程。后来钱德拉塞卡重写了这个证明。当然，它要长得多，也不一定更容易理解。

图3一英镑纸币背面的牛顿及其典型事迹。左上部分的图案和牛顿书上的一样，是自然哲学数学原理中行星轨道在有心力作用下呈椭圆形的几何证明。

有了微积分和引力，最终建立了经典力学这门科学。重要的是牛顿的工作是理性思考的典范。牛顿出生的时候，西方世界的科学还没有达到中世纪蒙昧的统治地位。到他去世的时候，西方已经进入理性时代，牛顿为此做出了巨大的贡献。

牛顿给笔者最深刻的启示是，一个伟大的科学家不仅要有深刻大胆的思想，还要有证明自己正确的能力。把新出现的想法和证据(或示范)编织在一起就是知识体系。

有意思的是，中国古代有“牛顿”的说法。曹操的《秋胡星》中有一句话:“牛顿不起，车坠谷中。”

本文原为曹则贤《一念之差——大科学家是怎样炼成的》(外语教学与研究出版社，2016.5)第六篇，发表时略加补充。

给…作注解

1.这是人类文明史上第二有名的苹果。第一个是蛇引诱夏娃的苹果。第三个是沾了氰化钾的苹果，天才艾伦·图灵咬了一口，结束了他的创作生涯。

2.这是人类文明史上的又一件大事。人类把天体运动的参考点从自己的脚下移到了其他地方。

参考

1.戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，最大化和最小化的新方法，不合理的分数量化道德。奇异的e proilli calculigenus，学报，467–473，1684。求最大值、最小值和切线的新方法，同样适用于分数或无理数，以及一种特例(拉丁文)的计算。

2.巴黎，巴黎，1696，医院，无限小物品分析员。理解曲线的无穷小分析(法语)。

3.威廉·邓纳姆，《微积分画廊:从牛顿到勒贝格的杰作》，普林斯顿大学出版社(2005)。中文翻译是《微积分教程——从牛顿到勒贝格》。

4.理查德·韦斯特福尔，《永无休止:艾萨克·牛顿传》，剑桥大学出版社(1983)。

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《一心一意的作者》序言非同凡响

认为人类历史是由少数英雄创造的观点遭到了激烈的批评。但如果说“科学史是少数英雄创造的”，估计反对的人不会太多。因为，涉及到一些伟大的科学成就，不要说敢争功劳。像我这样的普通人，仅仅因为能看懂的只有鳞片和爪子，就骄傲了。当然，我这里说的科学，指的是数学、物理等已经形成严谨厚重体系的学科。

科学的历史是少数巨人辉煌的历史。有些人，如伽利略、汉密尔顿、欧拉、开尔文爵士，能够穿透存在的未知迷雾，给人类带来知性的启迪。有些人，比如庞加莱和伽莫夫，来到这个世界上是为了向世界表明，天才是存在的。每次读到这些大师的思想，欣赏他们的天才成就，我总会感到莫名的激动和感叹——在这片孕育了人类最大部分的最古老的土地上，为什么还没有出现这样的科学巨人？

也许不是我们生来平庸，而是我们在饥饿的时候没有看到榜样的力量，没有智者给我们一个启蒙的洗礼？！那些科学巨擘，都是在青年时代得到了充分的、高质量的教育和启蒙。青少年不知道什么是真正伟大的思想成就，什么样的人才是真正的科学大师，自然也没有成为大师的欲望和野心。那么，从他们中间产生科学巨擘的可能性在哪里呢？

不知道从什么时候开始，我一直有一个愿望，想和我的朋友们，尤其是那些朝气蓬勃的年轻朋友们，分享我所了解的那些科学巨擘的思想和成就。然而，要正确理解和准确传达这些科学大师的思想和创造成果，却远远超出了作者的能力。抱着退而求其次的想法，作者写了这本小书，向读者介绍那些科学巨人取得科学地位的非凡想法——也许只是一个偶然的想法，但它后来成为科学史上的标志性事件，为科学和人类进一步的文明带来了意想不到的推动力。真心希望这本小书能对年轻朋友有所帮助，从中学生到刚刚步入科研生涯的年轻学者。

这本书关注的是人和事，仅限于哲学、数学和物理。没有别的原因，只是因为一些哲学、数学、物理领域的大师有着不一样的魅力，他们的成就在我心中引起了特别的崇敬。根据康德的说法，这是“我越经常和坚持不懈地思考它们，它们就越让我的心充满全新的和不断增长的惊喜和敬畏。”读者会注意到，这本书提到的人，有的是哲学家-数学家-物理学家三位一体，有的甚至同时是语言学家或其他专家。虽然可能不正确，但我仍然认为，就脑力劳动的成分而言，物理在智力和性格方面的要求，有些不如哲学和数学。不是数学家的物理学家总是与物理学分离。名不副实的哲学家数学家少之又少，更不要说欺世盗名的了，这是不争的事实。

本书包含30篇短文，其中前25篇概括介绍了一位伟大的科学巨人在取得巨大成就时的一个非凡想法；第二十六条讲的是作为一个学者的品格的高傲的孤独——只有在孤独中沉思的人，才能在黑暗中瞥见最微弱的光；接下来的三篇文章分别讲述了一个中学老师、一个工厂学徒、一个农民如何用一个非凡的想法影响了科学；最后一个讲的是普通人如何享受学习，参与科学创造。在保持内容通俗易懂的同时，我还是坚持加入一些深刻的东西，包括数学公式。有句话说，每多一个公式，书的读者就会减少一半。按照这种说法，这本书的阅读人数将少于1。但我不太相信这种说法。每个健康的人都喜欢挑战。数学公式之所以能吓走读者，可能是因为公式出现的方式生硬，虚张声势。就像有些人把德国哲学翻译成晦涩难懂的文本，问题在于作者或译者的不道德而不是数学或哲学的不兼容。如果读者对这本书里的数学公式不感兴趣，不妨直接跳过，不影响感受那些科学巨擘的奇思妙想。但是，希望读者能尽力理解这些看似困难的事情，不要遗憾空手回宝山。在一些章节之后，我会列举一些非常专业的参考文献。我觉得在这样一本书里列出这些专业的内容是没有必要的。虽然这些文档可能是用你还不知道的语言写的，或者它们的内容不容易理解，但是如果这些内容激起了你心中成为理科硕士的激情，那么这些文档就有可能成为你的敲门砖。总有一天，你能读到它——也许你还觉得它很简单。

这本小书是作者的学习笔记，心得体会，也是发自心底的一声叹息。因为作者的技巧是轻蔑的，虽然可以给朋友们看伟大学术创造过程中脚手架的遗迹，但不足以让人一窥科学创造的道路。对科学事业感兴趣的朋友们，请尽快尝试阅读科学巨擘们自己的著作，尽快从独特的视角达成对大师们伟大成就的理解。

理解科学大师们的人和成就的一个好处是，它会让你变得谦逊——发自内心地，真诚地。

这本书的阅读对象是任何对这本书感兴趣的人。作者无意也没有能力将难度控制在某一水平；其实作者根本不接受知识可以分为中学生、大学生、研究生、教授都能理解的不同层次的观点。如果一本书能让不同的读者或多或少有所收获，哪怕只是阅读时会心的一笑，那就是成功。另外，如果我们读的书一点都不难，我们的进步从何而来？

你一定已经注意到，这里没有提到许多伟大思想的闪光。没事的。这是一个开放的系列，以后会增加更多的内容。

我所属的这个民族，虽多灾多难但永无止境，无论如何都会对科学做出实质性的贡献。为此，我们要学会如何学习，如何创造。动手吧，安格雷芬，索福特！

曹则贤

2065438+2003春季写作

2015秋季在北京定稿。