欧拉公式E IX = COSX+ISINX是怎么推导出来的？

e^x=exp(x)=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3！+x^4/4！+…+x^n/n！+…& lt；1 & gt；

sinx=x-x^3/3！+x^5/5！-x^7/7！+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)！+……& lt；2 & gt

cosx=1-x^2/2！+x^4/4！-x^6/6！+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)！+……& lt；3 & gt

威尔(男子名)

我会* < 2 >吗？+& lt；3 & gt得到

所以我们推导出e IX = cosx+isinx，

将公式中的x替换为-x，得到:

E-IX = cosx-isinx，然后我们将两个公式相加相减得到:

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

这时，三角函数的定义域已经扩展到整个复数集。

附言

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它们的项是正整数幂的幂函数，其中c0，c1，c2，...通信网络（Communicating Net的缩写）...和A都是常数，这个级数叫做幂级数。

泰勒展开(幂级数展开法)；

f(x)=f(a)+f'(a)/1！*(x-a)+f''(a)/2！*(x-a)2+...f(n)(a)/n！*(x-a)n+...

实用幂级数:

ex = 1+x+x2/2！+x3/3！+...+xn/n！+...

ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(| x | & lt1)

sin x = x-x3/3！+x5/5！-...(-1)k-1 * x2k-1/(2k-1)！+...(-∞& lt；x & lt∞)

cos x = 1-x2/2！+x4/4！-...(-1)k*x2k/(2k)！+...(-∞& lt；x & lt∞)

arcsin x = x+1/2 * x3/3+1 * 3/(2 * 4)* X5/5+...(| x | & lt1)

arccos x =π-(x+1/2 * x3/3+1 * 3/(2 * 4)* X5/5+...)(| x | & lt1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -...(x≤1)

sinh x = x+x3/3！+x5/5！+...(-1)k-1 * x2k-1/(2k-1)！+...(-∞& lt；x & lt∞)

cosh x = 1+x2/2！+x4/4！+...(-1)k*x2k/(2k)！+...(-∞& lt；x & lt∞)

arcsinh x = x-1/2 * x3/3+1 * 3/(2 * 4)* X5/5-...(| x | & lt1)

arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 +...(| x | & lt1)