数学对象存在吗？(3)

实在论承认数学对象独立于我们的思想而存在，而反实在论认为数学对象不存在或独立于我们的思想而存在，唯名论则断言数学对象根本不存在。这种分类似乎被大多数作者所接受。

数学实在论和数学反实在论的争论是二十世纪数学哲学争论的焦点。从历史上看，当代数学实在论与数学反实在论之争与西方传统哲学中实在论与唯名论之争既有联系又有区别。首先，抽象的数学对象不同于西方传统哲学中所谓的共相或理念。宇宙和观念都与一种具体事物有关，可以看作是一种具体事物的代表或抽象。

比如柏拉图想象完美的圆真的存在，而物质世界中那些具体的不完美的圆只是完美圆的影子。反过来，我们也可以说，所谓的正圆，在某种意义上是一个具体的、不完美的圆的表象或抽象。但是，如果宇宙是有限的、离散的，那么欧几里德几何中的正圆在物质世界中其实是没有“影子”的。同样，那些非常大的数字也可能不是宇宙中任何真实具体事物或其物理量的表示或抽象。更不用说那些抽象的函数空间，拓扑空间，无限基数甚至大基数等等。，它们在物质世界中没有“影子”，也不是任何具体事物或其属性的直接抽象。

它们不同于传统哲学中的共性或理念。传统哲学中的柏拉图主义、实在论和唯名论是指肯定或否定普遍主义理念独立存在的理论。因此，现代数学哲学中的实在论或柏拉图主义超越了传统意义上的实在论和柏拉图主义。现代数学哲学中的实在论，就是断言一个完全独立于物质世界，与物质世界没有相似性的抽象数学世界的客观实在性。这是由于现代数学的一些前所未有的特点，即现代数学所谈论的对象不是具体事物的简单抽象，它们的眼光远远超出物质世界中的任何具体事物，物质世界中不可能有“影子”。

现代数学的特点使得实在论和反实在论的争论更加尖锐，也更有意义。

现代数学的这一特点使得实在论和反实在论的冲突更加尖锐，也使得上述单纯的数学实在论和单纯的反实在论所面临的问题更加突出。

一方面，如果一个抽象的东西，如共相或理念，只是一种相应的具体事物的代表，或者相应的具体事物在某种意义上是“抽象的”，那么现实主义者可能会说，断言抽象事物的存在并不那么不可思议。他们可能会说，我们可以通过具体的事物来认识那些抽象的事物，那么抽象事物的认识论问题就可以得到解答了。

相反，反实在论者也可以说，当我们谈论所谓的抽象事物时，我们只是采用了某种谈论那些相应的具体事物的方式，而不是真正地断言那些所谓抽象事物的存在。也就是说，柏拉图所谓的正圆只是一个幻想。我们只是把这样一个正圆想象成现实世界中的许多不完美的圆，而我们几何学中所谓的正圆，应该理解为关于各种不完美圆的相应(近似)结论。

反实在论者据此可以认为，共相和理念独立于具体事物而存在的论断，没有真正的意义，不能增加我们真正的知识，而只是某些哲学家的理论，是一种累赘的哲学。换句话说，关于共性和观念是否独立于那些具体事物的问题，是基于对语言的错误使用，是一个无事生非的问题。

但是，现代数学似乎确实在谈论完全独立于具体事物、与具体事物没有相似性的抽象数学对象，而数学被认为提供了最可靠的知识和科学的基础。

数学真理被认为是最可靠的真理。许多我们尊敬的数学家和科学家似乎持有这种信念。所有这些似乎都支持实在论，它们表明实在论似乎是一种被科学实践证实的信仰，不仅是某些哲学家妄想的结果，也是基于对语言误解的信仰。

另一方面，现代数学所研究的对象，尤其是无限对象和抽象的数学结构，远远超出了对宇宙中具体事物的简单抽象，与具体事物没有任何相似性。很难说我们能通过有限的具体事物认识那些无限抽象的数学对象。至少，它需要构建一个复杂的哲学理论来解释。

而且，我们不能像回避谈论正圆(但只是物质世界中的不完美圆)一样回避谈论实数、函数、拓扑空间等数学对象(因为物质世界中没有任何与它们足够相似的东西可以替代它们)。

因此，现代数学的这两个特点，即它是科学的基础及其(至少在表面上)超越性，不仅强化了支持实在论的理由，也增加了解决实在论认识论问题的难度。这让我们相信这里面真的有玄机，而不仅仅是一些糊涂的头脑所想象的无事生非的问题。

——二十世纪叶枫的数学哲学