函数逼近论的逼近方法

鉴于？而在选择了近似函数类之后，如何确定近似函数类中的行为？逼近函数g的方法有很多种，比如插值就是确定逼近函数的常用方法。所谓插值，就是在逼近函数类中找一个g(x)，使其在一些预先指定的点上求和。(x)具有相同的值，或者更一般地说，g(x)和？(x)在这些指定的点上，某个导数具有相同的值。用插值法构造逼近多项式在数学中有着悠久的历史。微积分中著名的泰勒多项式是一种插值多项式。此外，线性算子也是各种逼近问题中广泛使用的逼近工具。所谓线性算子是指某种逼近方法l，对于逼近的函数？，g，还有l(？)，l(g)近似表示它们，对于任意实数α和β，都有l(α？+βg)=αl(？)+βl(g).线性算子逼近法便于构造。典型的例子是周期为2π的连续函数？(x)和Sn(？x)，它定义了从一组周期为2π的连续函数到一组n阶三角多项式的线性算子Sn..Sn(？，x)可以用来近似？㈩.除了线性算子，非线性逼近方法也在逼近问题中得到发展。该领域最基础的工作是上世纪中叶俄罗斯数学家切比雪夫提出的最佳逼近。1859年，切比雪夫结合对机械设计问题的研究，提出并讨论了以下几类极值问题:已知α和B区间上的连续函数？(x)，P (x，α 0，α1，…，αn)是依赖于参数α0，α1，…，αn的初等函数(如多项式，有理分式)，用P(x，α0，α1，…，αn)。(x)如果产生的误差用于测量，则需要选择一组参数来最小化误差。这就是求最小问题的解。当参数给出最小误差时，称为。(x)由P(x，α0，α1，…，αn)组成的函数类中的一个最佳逼近元；该值称为。(x)用函数P(x，α0，α1，…，αn)逼近时的最佳逼近值。切比雪夫研究了P(x，α0，α1，…，αn)是n次多项式的情况(n是固定整数，α0，α1，…，αn是系数，它们是可以任意取的参数)。这里的最佳近似值取决于。，但不是线性依赖关系。所以切比雪夫的最佳逼近是一个非线性逼近。